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Limiti e istanti



Lo scorso 25 aprile avevamo parlato della dimensione degli infiniti matematici. Come detto, in matematica esiste un ordine di grandezza per gli insiemi infiniti, un ordine gerarchico, dettato dal tipo di variabili presenti nell’insieme.

Oggi parleremo di una cosa agli antipodi, gli infinitesimi.

Quando descriviamo un oggetto, tendiamo anche a darne una spannometrica valutazione
dimensionale: è grande, è piccolo, piccolissimo, non si vede a occhio nudo, non è possibile vederlo (gli atomi – la loro frequenza di emissioni non è percepibile dall’occhio umano).

Come rendere rigorosa, a livello matematico, una scala del genere? Supponiamo di considerare un microscopio ideale, che abbia un numero infinito di lenti, così da garantirci infiniti ingrandimenti.
Mettiamo sul vetrino un oggetto qualunque da analizzare, e cominciamo a osservarlo con
ingrandimenti sempre maggiori. Pian piano, vedremo parti di questo oggetto molto piccole,
probabilmente invisibili a occhio nudo. Aumentando le lenti, fino ad un numero infinito, riusciremo a vedere delle cose le cui dimensioni tendono a essere nulle.

Ho usato deliberatamente un termine fondamentale, inventato da Leibniz (penultimo anno di liceo…): tendono.

La tendenza di un ente a fare qualcosa come la potremmo descrivere? Come quel comportamento che assume per arrivare a fare quella determinata cosa, senza, però, arrivare mai a compimento. Ci si avvicina, ad esempio, ad un obiettivo, senza raggiungerlo.

I limiti: croce e gioia di chi studia analisi matematica. Tutto quello che vi ho raccontato fin’ora è un processo di limite. I limiti sono delle operazioni matematiche che analizzano la tendenza di un qualcosa al variare delle sue caratteristiche. Il limite può avere un valore finito (un numero) o infinito ( ±∞ ) a seconda dei casi.

Questo è un esempio di limite finito:


Si legge “il limite di uno su x, per x che tende all’infinito, è zero”. Traduco: dividendo il numero uno per valori ogni volta più grandi, ottengo un numero che, a lungo andare, è QUASI zero (ma mai zero).

Questo invece, è infinito:



In questo caso, dividendo per numeri sempre più piccoli (ma non per zero, non si può dividere per zero) il numero uno, otteniamo dei valori via via più grandi, che TENDONO all’infinito.
Tutto questo ha dato origine al calcolo differenziale, ovvero all’uso delle derivate. Le derivate sono delle particolari operazioni di limite che vanno a studiare l’andamento di funzioni o comportamenti fisici in determinate condizioni (istanti temporali, temperature, per fare degli esempi).

La prossima volta vedremo finalmente cosa c’azzecca tutto questo sproloquio con la definizione di velocità istantanea.


Edoardo Angelini-Rota

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