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La velocità nell’istante.


Siamo giunti al capitolo finale dei miei deliri matematici. Oggi parliamo di velocità istantanea.
Guardate un autobus che passa davanti alla vostra finestra, macchina fotografica alla mano contate fino a cinque e scattate una fotografia. Probabilmente avrete contato scandendovi il tempo con i secondi, quindi chiedervi a quanto andasse l’autobus, in riferimento alla foto scattata, al tempo t=5s, ha senso.
Guardate la foto. L’autobus è fermo. Però, in quell’istante, l’autobus procedeva a una certa velocità, altrimenti sarebbe ancora là fuori. Alla stessa maniera, perché la didascalia della Gazzetta sotto la foto di una Formula 1 recita “(…) viaggia a 300km/h”?
Effettivamente, una velocità, nell’istante precedente lo scatto, l’autobus e la monoposto ce l’avevano.
In un intervallo di cinque secondi, lo spazio percorso da un mezzo varia di una quantità finita. Prima sta ad un punto che chiameremo A, dopo si troverà in un punto B distante da A. Il tempo impiegato dal mezzo per percorrere questo spazio ci farà capire a che velocità media andasse.
Velocità media, perché non sappiamo se ha accelerato o decelerato in quello spazio. Le combinazioni possono essere infinite.
E se volessimo conoscere la velocità effettiva del mezzo, in ogni porzione di spazio percorso?
Se abbiamo detto che la velocità media è
con s spazio e t tempo, per avere la velocità in una porzione di spazio molto piccola, percorsa in un tempo altrettanto piccolo, dovremmo ricorrere agli infinitesimi, e quindi al limite.
Quindi, la velocità istantanea, ovvero la velocità di un oggetto che percorre uno spazio infinitesimo in un tempo altrettanto infinitesimo, è il limite del rapporto di due infinitesimi, oggetti incredibilmente piccoli, definiti, a loro volta, dalla operazione di limite.
Ma come è possibile che due infinitesimi, due valori intangibili, quasi, rapportati insieme diano un valore finito? Entra in gioco il discorso fatto due settimane fa. Come per gli insiemi infiniti, che hanno ordini di grandezza differenti a seconda delle loro caratteristiche, così anche gli infinitesimi seguono un ordine di grandezza.
Nella fattispecie, tempo e spazio sono due ordini di infinitesimi di pari grado. Quindi, in un rapporto, si semplificano alla stessa maniera di 6/2, che diventa 3. Se uno dei due fosse stato di ordine superiore all’altro, avremmo avuto un numero infinitamente grande (nel caso di un denominatore che tende a zero – ve l’ho raccontato la settimana scorsa) o infinitamente piccolo (nel caso di un numeratore – quello che sta sopra – infinitamente piccolo).
Alla stessa maniera si può parlare dell’accelerazione, partendo dal concetto di accelerazione media (la variazione di velocità in un lasso di tempo finito) per poi arrivare, con gli stessi procedimenti, all’accelerazione istantanea.
La velocità istantanea di un corpo è la velocità che questo aveva nell’istante precedente al momento dell’analisi. Nonostante lo spazio e il tempo, nella definizione di istante, siano piccoli, comunque la velocità sarà 300km/h per la monoposto o 40km/h per Ussain Bolt, nel fotofinish.
Personalmente, trovo questo concetto molto affascinante. Una deduzione forse banale, per un lettore del XXI secolo, ma che ha permesso a gente come Newton di scrivere F=ma, una formula di tre lettere, e di validità quasi universale.
Edoardo Angelini Rota

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