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L’antinomia del barbiere

Un barbiere, un uomo ben voluto nel suo villaggio e – chiaramente – sempre ben sbarbato, ebbe un giorno l’ardire di innamorarsi della figlia del Re. Tale amore era – a quanto pare – ricambiato. Quando la notizia divenne di pubblico dominio, provocò un tale scalpore da costringere il Re a convocare il barbiere a corte. «Villico plebeo! – disse – Come osi alzare il tuo sguardo tanto in alto da desiderare mia figlia? Arrogante! Ti schiaccerò come il sole ha schiacciato Icaro!». Il barbiere era però sinceramente innamorato, ed appellandosi alla forza di questo suo sentimento riuscì ad intenerire l’arcigno sovrano, il quale scelse di offrire al poveretto una via di scampo: «Barbiere, ti consentirò di prendere in sposa mia figlia qualora tu adempirai alla mia volontà» disse. «Sire, sarà per me un onore provvedere ad ogni vostro desiderio» rispose il nostro eroe. «Bene mio caro, ti ordino allora di eseguire un semplice ordine entro la mezzanotte di oggi. Se sarai capace di obbedirmi avrai mia figlia. In caso contrario sarai decapitato in piazza». «Ordinate mio Signore» disse il barbiere. Rispose il Re: «Dovrai radere tutti gli uomini del tuo villaggio che non si radono da soli». «Tutto qua?!» replicò il nostro. «Sì – fece il Re (ghignando sotto i baffoni impomatati) – tutto qua».


Il barbiere tornò di corsa alla sua bottega, pensando felice: «Ho vinto. Conosco tutti gli uomini del mio villaggio, sono solo 18. Sei si radono da soli. Gli altri sono tutti miei clienti. Dovrò tagliare dodici barbe e la principessa sarà mia». Convocati i suoi clienti –zac zac – li sbarbò tutti di gran carriera.
Si guardò allora allo specchio e notò con orrore una certa peluria che gli spuntava lungo il collo su fino alle basette: un’ombra di barba. Con orrore sì, perché gli si presentò l’angosciosa domanda: «Mi devo radere?». «Sì, forse mi dovrei radere, così sono brutto. Però se mi radessi, avrei rasato un uomo che si rade da solo e il Re me lo ha vietato. Se invece non mi radessi, allora non avrei rasato un uomo che di solito va a farsi radere dal barbiere. E anche questo il Re me lo ha vietato». Ecco. Il barbiere era stato ingannato.

Il poveretto tornò a corte con la coda tra le gambe. Il Re, mosso da tanta ingenuità, lo graziò e gli concesse la mano della figlia, ma a un patto (questa volta più sostenibile): il barbiere avrebbe dovuto iscriversi alla facoltà di filosofia della locale università e laurearsi con una tesi in logica matematica, perché un futuro principe così tonto no, proprio non si poteva tollerare1.

Ora, questa storiella è un modo ingenuo e intuitivo per proporvi un problemino logico che mi sconfinfera non poco: l’antinomia di Russell.

G. Frege

Sul finire dell’Ottocento, il matematico tedesco Gottlob Frege aveva proposto una fondazione dell’aritmetica sulla logica. Questa fondazione, almeno negli intenti, non avrebbe dovuto lasciare spazio a proposizioni verificate per intuizione o in maniera non-deduttiva. Nel 1879, con l’Ideografia, aveva strutturato un linguaggio formale (simbolico) utile a tale scopo. Nel 1884, con I fondamenti dell’aritmetica (Die Grundlagen der Arithmetik) aveva individuato la strada da intraprendere. Tale strada lo porterà a pubblicare I principi dell’aritmetica (Grundgesetze der Arithmetik), l’opera in due volumi che avrebbe dovuto definitivamente sancire il compimento del sogno logicista: la fondazione logica dell’aritmetica. Subito dopo aver pubblicato il secondo volume, nel 1903, Frege ricevette una lettera dell’inglese Bertrand Russell che trasformò tale sogno in un incubo. Russell informava il Nostro di aver individuato nel primo volume dei Principi una contraddizione, un’antinomia. E non in un passo secondario dell’opera, no no. Proprio alla base. Uno degli assiomi (il quinto) dava adito alla stessa contraddizione nella quale era incappato il barbiere di cui sopra. Insomma, Russell fece esplodere una bomba che determinò il crollo dell’intero edificio fregeano dalle fondamenta.


Il quinto assioma delle Grundgesetze prevedeva la possibilità di costruire un insieme a fronte del possesso di una data proprietà da parte di un dato oggetto. In altri termini: dato il possesso della proprietà “fucsia” da parte dei miei calzini, per il quinto assioma di Frege posso costruire un insieme “ ” contenente tutti gli oggetti di colore fucsia. Si pone però una domanda: l’insieme “ F ” contiene tutti gli oggetti fucsia e come tale, anche se stesso? L’insieme degli oggetti fucsia è fucsia anch’esso? La questione in gioco è grossa: l’assioma (noto anche come assioma di comprensione non-ristretto principio di astrazione) garantisce la possibilità di astrarre idee a partire da oggetti (ricordate Platone?).
B. Russell


Russell entra “a gamba tesa” nel problema proprio asserendo la non legittimità di tale processo di astrazione (almeno in questi termini così “ingenui”). L’assioma di comprensione è, insomma, tanto contraddittorio quanto lo è l’ordine dato al barbiere dal Re.

Consideriamo la proprietà “contenere se stesso” (l’equivalente di “radersi da solo”). Per il principio di astrazione asseriamo che esiste un insieme detto “ R ” tale da contenere tutti gli oggetti che non possiedono tale proprietà, che non-contengono se stessi (“non si radono da soli”). Ci domandiamo: l’insieme in questione contiene se stesso? Qui scatta il corto circuito:

(1) Se R contiene se stesso, allora non contiene se stesso.
(2) Se R non contiene se stesso, allora contiene se stesso 2.

Più semplicemente: se R è parte di se stesso, lo è in virtù del fatto che possiede la proprietà in questione. Se non contiene se stesso, allora è out: non è legittimato a possedere la proprietà che di fatto possiede. Un gran casino.

Confusi? Figuratevi Frege… Stroncato di brutto.

Quel furbastro di Russell, al contrario, ipotizzò una soluzione: la cosiddetta teoria dei tipi. Tale soluzione prevedeva di fare ricorso al termine “classe”. Una classe è un raccolta di oggetti. Abbiamo due tipi di classi: proprie improprie. Una classe propria non è contenibile né da se stessa, né da altre classi. Una classe impropria (anche detta insieme) è invece contenibile sia da se stessa, sia da altre classi (proprie e improprie).

La teoria dei tipi è così alla base delle teorie degli insiemi dette non ingenue. Teorie – probabilmente – oggetto di studio del nostro amico barbiere.


Giulio Valerio Sansone


1 Questa è una palese vaccata. Vi chiedo scusa. Ma mi dispiaceva far morire quel poveraccio di barbiere.

2 Qui la formalizzazione rigorosa: \text{se } R = \{ x \mid x \not \in x \} \text{, allora } R \in R \iff R \not \in R .

About Giulio Valerio Sansone

Giulio Valerio Sansone
Triennale in Filosofia a Roma, studente di Economia dell'Innovazione a Milano. Orgogliosamente parte della ciurma di Polinice dai suoi gloriosi albori. Vi fracassa le scatole un mercoledì ogni quattro.

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