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Kurt Gödel: la questione dei fondamenti

Kurt Gödel (1906 – 1978) è il celebre autore dei teoremi di incompletezza dell’aritmetica. Con una banalizzazione si potrebbe dire che a lui si debba la dimostrazione dell’impossibilità di strutturare un sistema assiomatico che sia al contempo (1) esteso almeno quanto la matematica e (2) esente da contraddizioni.

Ieri mattina ho dato un esame e, in un momento di cecagna post-prandiale, ho reso giustizia ad un libro che dei cari amici mi avevano fatto avere per il mio compleanno qualche tempo fa: un’antologia di scritti scelti di Gödel (appunto) pubblicata da Bollati Boringhieri. L’antologia fa parte di una collana (I Grandi Pensatori) da tenere a mente: tutti gli scritti sono commentati da esponenti del mondo accademico di indubbia competenza e presentano un apparato bibliografico vastissimo (robba seria).
Veniamo al dunque, oggi vorrei parlarvi di uno di questi scritti del matematico austriaco: Il moderno sviluppo dei fondamenti della matematica alla luce della filosofia (1961). É l’abbozzo di una conferenza che Gödel avrebbe dovuto tenere presso l’American Philosophical Society, presso la quale era da poco stato ammesso.
L’idea della conferenza era quella di descrivere in termini filosofici lo sviluppo della riflessione sui fondamenti della matematica tra ‘800 e ‘900. Secondo il Nostro, in filosofia si possono delineare posizioni “di destra” e “di sinistra”. Tali posizioni si distribuiscono lungo un segmento dove sull’estremo destro (appunto) troviamo le proposte più vicine al pensiero metafisico. Spostandoci verso sinistra incontriamo, via via, atteggiamenti di pensiero più vicini all’empirismo.
È banalmente vero – dice Gödel – che dal Rinascimento in poi, la filosofia abbia assunto posizioni sempre più di sinistra, delineando così uno spostamento da un polo all’altro del segmento. Meno Aristotele e più Quine, insomma.
La matematica – per il suo carattere a priori – ha a lungo resistito allo Zeitgeist, a questo sviluppo da destra verso sinistra. Il momento di svolta si ebbe sul finire dell‘800, quando iniziarono a comparire le prime antinomie della teoria degli insiemi detta ingenua (vi ricordate il paradosso di Russell?). Si fece così strada un’idea mooolto di sinistra: un assioma non ha, in sé, nessun valore di verità. É l’esito delle deduzioni che da esso possiamo trarre che gli attribuisce maggiore o minore validità. In altri termini: un assioma è vero solo per ipotesi.
Gödel non nasconde di essere fortemente contrario rispetto ad un simile modo di intendere il problema dei fondamenti. A suo dire, le antinomie sono in linea di principio risolvibili. Inaccettabile è invece ridurre gli assiomi a mere istanze provvisorie della dimostrazione. Si deve tutelare con forza l’idea che la matematica sia sempre in grado di rispondere a domande del tipo sì/no poste correttamente.
David Hilbert tentò di proporre una sintesi tra destra e sinistra, strutturando sistemi assiomatici completi (destra) dove gli assiomi fossero meramente ipotetici (sinistra).
Ecco, Gödel sottolinea come nemmeno questa impostazione sia valida (lo dimostra proprio con i suoi teoremi di incompletezza). Cosa propone? Di assumere atteggiamenti di tipo intuizionistico: la verità di un assioma può essere colta mediante un atto di chiarificazione di senso che consista nel «mettere a fuoco più nitidamente i concetti coinvolti [gli assiomi] dirigendo la nostra attenzione in un modo determinato, precisamente sui nostri propri atti nell’uso di questi concetti» [1]. Detto così vuol dire molto poco (e infatti c’è di mezzo Husserl con la sua intuizione eidetica). In altri termini: l’utilizzo da parte nostra di un assioma vero, dovrebbe determinare in noi un nuovo stato di coscienza che attesti la verità dell’assioma stesso (anche questo non è molto chiaro: commenti-chiarimenti sono ben accetti).
Per rafforzare la sua tesi, Gödel chiama in causa Kant. Secondo il Nostro, una corretta interpretazione dei testi del filosofo di Königsberg andrebbe proprio nella direzione  da lui proposta. Notevole un passo della Critica della ragion pura [Krv A 717 = B 745] in cui Kant parla dell’impossibilità di portare a termine dimostrazioni geometriche in un numero finito di passi: sostituiamo “geometriche” con “aritmetiche” e abbiamo proprio i teoremi di incompletezza!
Insomma: Gödel, Husserl e Kant. Davvero un trio ben assortito. Di certo una stramberia agli occhi dei fautori della distinzione analitico/continentale, matematica/metafisica, kantiani/husserliani, pasta corta/pasta lunga, Gibson/Fender.
Non potevo non parlarvene.
Giulio Valerio Sansone

La redazione di PoliNietzsche si scusa per il ritardo nella pubblicazione del post causato da problemi tecnici.


[1] Vedi opera citata, pagina 232.

About Giulio Valerio Sansone

Giulio Valerio Sansone
Triennale in Filosofia a Roma, studente di Economia dell'Innovazione a Milano. Orgogliosamente parte della ciurma di Polinice dai suoi gloriosi albori. Vi fracassa le scatole un mercoledì ogni quattro.

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