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L’insostenibile caoticità del meteo

 

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Anno: 1963. Luogo: uno dei laboratori di calcolo numerico del MIT (Massachusetts Institute of Technology), Boston. Edward Lorentz compie delle simulazioni metereologiche con dei calcolatori. Ogni simulazione viene meticolosamente ripetuta così da esser sicuri che il codice numerico funzioni bene. Ma in un attimo di pigrizia inserisce 0.506 come condizione iniziale invece di 0.506127 che aveva usato nella simulazione precedente (una differenza dello 0.02% circa). Tanto cosa cambierà mai? Tutto. Il nostro “eroe” si accorge ben presto che i risultati della simulazione sono completamente sballati rispetto a quelli della simulazione precedente, che avevano gli stessi input di quella successiva; se non per quello 0.02%. Nasce la Teoria del Caos (*): “Una piccola variazione nelle condizioni iniziali porta a grandi variazioni nel risultato finale”, o, se vogliamo una formulazione più catastrofista “Un battito d’ali di una farfalla a New York può causare un uragano a Tokyo”. 

Facciamo un esempio pratico; intuitivo anche se poco rigoroso. Prendete una palla da tennis (o qualcosa del genere, purché rimbalzi) e mettevi vicino a un tavolo. Lasciate cadere la palla dall’alto a dieci centimetri dal bordo del tavolo; vedete che questa al ritorno ripercorrerà all’incirca la stessa traiettoria, ma in verso opposto. Ripetete l’operazione avvicinandovi sempre più al bordo. Ci sarà una posizione della vostra mano da cui la palla, una volta lasciata cadere, rimbalzerà vicinissima al bordo e tornerà nella vostra mano; vi spostate di un millimetro (o meno, se ci riuscite), lasciate la palla ed essa colpirà lo spigolo del tavolo cadendo rovinosamente a terra per poi arrestarsi lontano da voi. Vedete, con una differenza di qualche millimetro, vi ritrovate la palla in mano o dall’altra parte della stanza (se va bene). 

Vi è mai successo di guardare il meteo al telegiornale (o su internet dato che siete tipi tecnologici e state leggendo questo articolo) e rimandare il vostro week-end romantico al mare perché le previsioni davano brutto tempo, per poi stramaledire tutti i dipendenti dei centri meteo nel raggio di mille chilometri dopo aver appreso che in realtà le giornate sono state soleggiate? Bene, in realtà dovreste stramaledire la vostra scarsa conoscenza riguardo alla teoria fisico- matematica dei sistemi dinamici caotici. 

Un sistema dinamico è un sistema che si evolve nel tempo secondo una legge ben precisa (un’equazione differenziale). Un esempio è un sistema composto da un pianeta e una stella orbitanti intorno al comune centro di massa (il così detto “problema dei due corpi” da cui si ottengono le tre leggi di Keplero) descritto dalla legge di Newton F=ma. Poi le cose si possono complicare a piacere aggiungendo altri pianeti che orbitano intorno alla stella, qualche satellite che orbita intorno ai pianeti, altri corpi più piccoli come asteroidi e comete e, perché no, anche una stella lontana la cui forza gravitazionale non è trascurabile. Bene, la legge che descrive il sistema è sempre F=ma, però rispetto a prima abbiamo delle difficoltà in più: per sapere l’esatta posizione di ogni corpo ad ogni istante dovremmo risolvere tre equazioni scalari per ogni corpo (dato che F=ma è un’equazione vettoriale i cui vettori hanno tre componenti – le tre dimensioni spaziali) tenendo però presente della forza esercitata su di esso da ciascuno degli altri corpi… troppo anche per il più potente dei computer! 

Quindi negli ultimi due secoli matematici e fisici si sono ingegnati per trovare dei metodi che, almeno a grandi linee, permettessero di seguire l’evoluzione nel tempo di sistemi “ad n gradi di libertà” come quello descritto sopra. Questi metodi si sono rivelati efficaci anche in altri ambiti scientifici dove le variabili di cui tener conto sono troppe, come le neuroscienze o l’economia. O la meteorologia, appunto. E la teoria del caos si inserisce proprio in questo contesto. Le cose vanno più o meno così. 

I complicatissimi programmi di simulazione numerica sono fatti in modo da seguire lo stato di un dato sistema nel tempo (in questo caso il meteo, ma può essere qualsiasi cosa) a partire da certe condizioni iniziali. Queste condizioni iniziali sono i dati di pressione, temperatura, umidità, etc, raccolti dalle varie stazioni meteorologiche sparse per i pianeta (atmosfera e oceani compresi). Semplifichiamo: supponiamo di vivere in un mondo a due dimensioni e che quindi ci basterebbe dividere una certa zona (ad esempio due ettari nel comune di Firenze) in tanti quadratini e mettere al centro di ogni quadratino una stazione meteorologica che ci dà in tempo reale i dati che ci servono per fare delle buone previsioni. Abbiamo già due problemi! Come sappiamo ogni misura è soggetta ad errore. Anche lo strumento più preciso e costoso (ad esempio un super-termometro) vi darà una misura “sprecisa”. Se in un dato quadratino il mio termometro misurasse 11.345 gradi Celsius con un incertezza di 0.001 gradi e la temperatura “vera” fosse 11.345002 avrei una piccola variazione che potrebbe far sì che il mio sistema “reale” si comporti in maniera totalmente differente da quella prevista (ecco perché il meteo dava pioggia e invece è stato bel tempo!). L’altro problema, che si riconduce al precedente, è che per quanto possa cercare di fare dei quadrati piccoli, non posso misurare le quantità che mi servono in ogni punto possibile, ma solo al centro di ogni singolo quadratino. Le cose si complicano notevolmente in 3D, in cui c’è bisogno di mettere stazioni non solo sugli stessi due ettari di prima, ma a diverse altezze fino ad includere almeno la troposfera (ma meglio sarebbe anche la stratosfera), oppure in un area marittima dove devo fare le stesse misure anche in acqua perché ovviamente la sua temperatura e le correnti influenzano l’atmosfera, etc, etc. 

Insomma, un “caos” totale, tanto per restare in tema! Quindi i metereologi eseguono diverse simulazioni numeriche variando di poco le condizioni iniziali e poi calcolano la probabilità che si verifichi un determinato scenario piuttosto che un altro. Ecco perché le previsioni del tempo spesso e volentieri non ci azzeccano. E soprattutto alla lunga (la palla da tennis di prima inizia a “deragliare” da un certo punto in poi). Notiamo in fine che la “caoticità” del meteo non è una proprietà intrinseca del sistema stesso, bensì deriva dalla finitezza in termini di precisione delle nostre misure dei parametri in gioco e dalla nostra limitata potenza di calcolo. Idealmente, avendo a disposizione un computer dotato di una potenza di calcolo infinita, degli strumenti di misura infinitamente precisi e un campionamento spazio-temporale uniforme, potemmo prevedere esattamente che tempo farà ovunque e in ogni momento. 

Ma in natura non c’è niente di infinito (**), quindi per ora, e forse per molto altro tempo, dobbiamo accontentarci di queste previsioni del tempo. 

 

(*) a rigore erano già noti dei sistemi caotici, come ad esempio il doppio pendolo o il problema dei tre corpi in meccanica celeste 

(**) l’universo è ciò che si avvicina di più al concetto matematico di infinito; peccato però che debba essere finito o spazialmente o temporalmente così da spiegare il Paradosso di Olbers, ovvero se l’universo fosse infinito il cielo non dovrebbe essere buio di notte 

Per approfondire: Per una spassosa e intelligente spiegazione sul funzionamento delle simulazioni numeriche: “Capra e calcoli. L’eterna lotta tra gli algoritmi e il caos” di M. Malvaldi e D. Leporini 

Per un saggio divulgativo completo e fruibile da tutti su cosa sono veramente meteorologia e climatologia: “Clima bene comune” di L. Mercalli e A. Goria 

Per una breve spiegazione sui sistemi dinamici caotici, per chi fosse un po’ intimorito dalle formule, rimando alla Treccani: http://www.treccani.it/enciclopedia/sistemi-dinamici- caotici_(Enciclopedia_della_Scienza_e_della_Tecnica)/

Riccardo Muolo

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