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Le basi matematiche della biologia

Uno dei principali problemi della Biologia è il suo non avere ancora dei fondamenti matematici solidi. Mentre fisici e chimici possono contare su modelli che predicono abbastanza accuratamente i risultati dei vari esperimenti, i biologi si devono accontentare, se va bene, di modelli descrittivi e qualitativi, in cui raramente compaiono equazioni e le cui previsioni sono grossolane.

Ciò non dà solo dei problemi prettamente scientifici. E’ infatti molto difficile smentire chi millanta cure miracolose o teorie esotiche, in quanto non esiste dimostrazione matematica che provi ad absurdum la falsità di quanto venga sostenuto. Ed è ancora più difficile convincere il “pubblico” ad accettare le proprie ricerche scientifiche come certe, o quasi certe, come ad esempio per la teoria dell’evoluzione di Darwin, che viene ancora rigettata da gran parte degli integralisti religiosi, che preferiscono il disegno intelligente [1].

Personalmente ritengo che sperare di convincere gli scettici ad accettare una teoria dopo una dimostrazione certa e inconfutabile sia un pia illusione. Basti osservare le posizioni di una gran parte della popolazione riguardo agli OGM. Oppure i continui attacchi da parte di estremisti islamici alla teoria eliocentrica o di integralisti cristiani che continuano a negare l’evidenza che l’età del nostro pianeta sia di 4.5 miliardi di anni sostenendo che sia di soli 6000 (eppure le misure di datazione che sfruttano la radioattività naturale sono certe e precise).
E questa è la brutta notizia.

La bella notizia è che negli ultimi 60 anni si è sviluppata un’interessante branca della matematica (o della biologia?): la biologia matematica.
La forza delle scienze fisiche è quella di schematizzare la realtà tramite modelli ideali, più semplici da far digerire ai calcolatori, che, grazie a degli algoritmi, li fanno evolvere nel tempo e arrivano a delle previsioni teoriche. I modelli poi vengono ricondotti il più vicino possibile a quelli “reali” aggiungendo via via più variabili; in questo modo si ottengono risultati di notevole precisione.
Ebbene, questa disciplina cerca di schematizzare i sistemi biologici (dalla cellula, all’organismo, alle interazioni tra vari organismi) usando la matematica dei sistemi dinamici: un tipico esempio è il modello di Lotka-Volterra, sistema di due equazioni differenziali del primo ordine non lineari che descrive abbastanza bene l’andamento delle popolazioni di prede e predatori.

Un grande contributo alla biologia matematica è stato dato dal britannico Alan Turing (1912-1954), noto soprattutto per i suoi lavori sulla computazione e sulla crittografia [2]. Però, mentre di calcolatore universale ne avevano già parlato Leibnitz e Babbage(*) e di crittografia si occupavano già diversi matematici, per quanto riguarda un approccio matematico nel continuum(º) alle scienze della vita, Turing è stato un pioniere assoluto; questo senza nulla togliere agli straordinari contributi che ha dato negli altri campi della matematica.

Alan Turing

Nel 1952, due anni prima del suo suicidio, scrisse un rivoluzionario articolo sulla rivista della London Royal Society [3] che diede inizio allo studio matematico della morfogenesi, ovvero la branca delle biologia che studia come si sviluppano le forme degli organismi.
In questo lavoro Turing usa la matematica per dimostrare che da un sistema di due reagenti chimici (sistema di reazione-diffusione di equazioni differenziali non lineari) in equilibrio omogeneo, si può ottenere, sotto determinate condizioni, un’instabilità che porta ad un nuovo equilibrio disomogeneo, ovvero alla formazione di un certo pattern(∂).
Questa geniale intuizione dà una spiegazione più che convincente sul come abbiano avuto origine i manti striati e a chiazze degli animali [4]. In più, lo studio sui networks(•) di questa Instabilità di Turing sta inziando a dare spiegazione di alcuni pattern che si osservano in neuroscienze e in altri sistemi discreti (º).

Oltre a questo approccio dinamico, che studia l’evoluzione temporale di un sistema, negli ultimi anni si sta rivalutando un approccio informazionale alla biologia [5], già anticipato dal matematico ungherese Von Neumann (1903-1957) e dal fisico statunitense Richard Feynmann (1918-1988). Ciò consiste nel paragonare la vita ad un software, cioè ad un sofisticato algoritmo che si è auto organizzato ed evoluto nel tempo grazie ad un continuo scambio di informazione tra le sue componenti.

Dobbiamo essere pronti ad affrontare, senza pregiudizi, le sfide etiche e filosofiche che deriveranno dalle prossime scoperte. Grazie alle matematica, stiamo facendo enormi progressi nello studio del cervello, stiamo comprendendo più a fondo le interazioni tra molecole complesse, i meccanismi di replicazione delle cellule e tanto altro.
Difficilmente riusciremo a interpretare e scrivere sotto forma di equazioni tutto ciò che accade nel nostro cervello; così come sarà dura avere una teoria matematica consistente che spieghi l’evoluzione delle specie.
In ogni caso la matematizzazione della biologia sta già incassando dei bei risultati; e siamo solo all’inizio!

Note:

(*) In realtà il filosofo tedesco Gottfried Leibnitz (1646-1716) e lo scienziato inglese Charles Babbage (1791-1871) non sono stati i primi a parlare di calcolatore, si pensi ai lavori di Pascal o addirituttra a quelli dei matematici alessandrini. Però il concetto di calcolatore universale del filosofo tedesco è quello più vicino alla macchina di Turing teorizzata negli anni ’30 dal matematico britannico, mentre Babbage è stato il primo a costruire una macchina calcolatrice (a vapore) che facesse qualcosa di più che sommare due o tre numeri.
(º) Un esempio di insieme continuo è la retta reale R, dove tra due valori μ e μ` (vicini quanto si vuole) ce ne sono infiniti. Un esempio di insieme discreto è la serie dei numeri naturali N, dove i valori sono definiti e non c’è modo di passare da uno all’altro senza “fare un salto”.
(∂) Il vocabolo pattern è lasciato in lingua originale in quanto di difficile traduzione in questo ambito, infatti in gergo tecnico si usa sempre il termine inglese. In questo caso il termine è inteso come un “disegno”: ad esempio il manto chiazzato del leopardo è un pattern.
(•) Un network o grafo è una struttura matematica discreta.

Per approfondire:

[1] Nicola Nosengo, Daniela Cipolloni, Compagno Darwin, l’evoluzione è di destra o di sinistra?;
[2] Andrew Hodges, Alan Turing. Storia di un Enigma;
[3] Alan Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis;
[4] James Murray, How the leopard gets its spots;
[5] Gregory Chaitin, Darwin alla prova. L’evoluzione vista da un matematico.

Riccardo Muolo

Kurt Gödel: la questione dei fondamenti

Kurt Gödel (1906 – 1978) è il celebre autore dei teoremi di incompletezza dell’aritmetica. Con una banalizzazione si potrebbe dire che a lui si debba la dimostrazione dell’impossibilità di strutturare un sistema assiomatico che sia al contempo (1) esteso almeno quanto la matematica e (2) esente da contraddizioni.

Ieri mattina ho dato un esame e, in un momento di cecagna post-prandiale, ho reso giustizia ad un libro che dei cari amici mi avevano fatto avere per il mio compleanno qualche tempo fa: un’antologia di scritti scelti di Gödel (appunto) pubblicata da Bollati Boringhieri. L’antologia fa parte di una collana (I Grandi Pensatori) da tenere a mente: tutti gli scritti sono commentati da esponenti del mondo accademico di indubbia competenza e presentano un apparato bibliografico vastissimo (robba seria).
Veniamo al dunque, oggi vorrei parlarvi di uno di questi scritti del matematico austriaco: Il moderno sviluppo dei fondamenti della matematica alla luce della filosofia (1961). É l’abbozzo di una conferenza che Gödel avrebbe dovuto tenere presso l’American Philosophical Society, presso la quale era da poco stato ammesso.
L’idea della conferenza era quella di descrivere in termini filosofici lo sviluppo della riflessione sui fondamenti della matematica tra ‘800 e ‘900. Secondo il Nostro, in filosofia si possono delineare posizioni “di destra” e “di sinistra”. Tali posizioni si distribuiscono lungo un segmento dove sull’estremo destro (appunto) troviamo le proposte più vicine al pensiero metafisico. Spostandoci verso sinistra incontriamo, via via, atteggiamenti di pensiero più vicini all’empirismo.
È banalmente vero – dice Gödel – che dal Rinascimento in poi, la filosofia abbia assunto posizioni sempre più di sinistra, delineando così uno spostamento da un polo all’altro del segmento. Meno Aristotele e più Quine, insomma.
La matematica – per il suo carattere a priori – ha a lungo resistito allo Zeitgeist, a questo sviluppo da destra verso sinistra. Il momento di svolta si ebbe sul finire dell‘800, quando iniziarono a comparire le prime antinomie della teoria degli insiemi detta ingenua (vi ricordate il paradosso di Russell?). Si fece così strada un’idea mooolto di sinistra: un assioma non ha, in sé, nessun valore di verità. É l’esito delle deduzioni che da esso possiamo trarre che gli attribuisce maggiore o minore validità. In altri termini: un assioma è vero solo per ipotesi.
Gödel non nasconde di essere fortemente contrario rispetto ad un simile modo di intendere il problema dei fondamenti. A suo dire, le antinomie sono in linea di principio risolvibili. Inaccettabile è invece ridurre gli assiomi a mere istanze provvisorie della dimostrazione. Si deve tutelare con forza l’idea che la matematica sia sempre in grado di rispondere a domande del tipo sì/no poste correttamente.
David Hilbert tentò di proporre una sintesi tra destra e sinistra, strutturando sistemi assiomatici completi (destra) dove gli assiomi fossero meramente ipotetici (sinistra).
Ecco, Gödel sottolinea come nemmeno questa impostazione sia valida (lo dimostra proprio con i suoi teoremi di incompletezza). Cosa propone? Di assumere atteggiamenti di tipo intuizionistico: la verità di un assioma può essere colta mediante un atto di chiarificazione di senso che consista nel «mettere a fuoco più nitidamente i concetti coinvolti [gli assiomi] dirigendo la nostra attenzione in un modo determinato, precisamente sui nostri propri atti nell’uso di questi concetti» [1]. Detto così vuol dire molto poco (e infatti c’è di mezzo Husserl con la sua intuizione eidetica). In altri termini: l’utilizzo da parte nostra di un assioma vero, dovrebbe determinare in noi un nuovo stato di coscienza che attesti la verità dell’assioma stesso (anche questo non è molto chiaro: commenti-chiarimenti sono ben accetti).
Per rafforzare la sua tesi, Gödel chiama in causa Kant. Secondo il Nostro, una corretta interpretazione dei testi del filosofo di Königsberg andrebbe proprio nella direzione  da lui proposta. Notevole un passo della Critica della ragion pura [Krv A 717 = B 745] in cui Kant parla dell’impossibilità di portare a termine dimostrazioni geometriche in un numero finito di passi: sostituiamo “geometriche” con “aritmetiche” e abbiamo proprio i teoremi di incompletezza!
Insomma: Gödel, Husserl e Kant. Davvero un trio ben assortito. Di certo una stramberia agli occhi dei fautori della distinzione analitico/continentale, matematica/metafisica, kantiani/husserliani, pasta corta/pasta lunga, Gibson/Fender.
Non potevo non parlarvene.
Giulio Valerio Sansone

La redazione di PoliNietzsche si scusa per il ritardo nella pubblicazione del post causato da problemi tecnici.


[1] Vedi opera citata, pagina 232.